有限元模拟

2.5.1 有限元法的概念
许多研究人员使用有限元模拟进行分析。有限元分析是一种数值方法，在该方法中一种连续的弹性（线弹性或非线弹性）、弹塑性或理想塑性结构被分成小而有限的被界定的基本单元体。利用矩阵，每一个单元体都按照它的材料、几何特点、内力分布、载荷和单元节点位移进行了分类。在作物生产中，许多操作关系到土壤与机械的相互作用，特别是耕作过程。这些操作可以用传统方法也可以用数值方法进行分析。由于土壤是极其复杂的介质，操作过程又是一动态的过程，数值方法适于精确的模拟这一过程[19]。

2.5.2 有限元和离散元
对于带有离散颗粒的土壤来说，离散元法建立其非线性力学模型是一有效的工具；同时有限元也可以起到同样作用，但在该模型中土壤被视为连续的。当分析土壤的复杂的离散特性时，连续性理论得不到太精确的结果，因此在应用时必须谨慎。同时还由于土壤受外力发生变形、断裂和破坏时，成为典型的离散型物质。然而，分析土壤由外力
所引起的复杂的力学特性和动态反应，这些力学模型又是非常必要的。

在有限元方法中，Duncan-Chang的双曲线模型和Drucker-Prager构建的模型是普遍被应用的力学模型[5]。通过有限元获的土壤力学模型也可以从宏观角度分析土壤的动态力学特性。可是，土壤内部的介观或微观的力学行为不能为这些模型所揭示，并且，这已经成为精确分析土壤动态行为的瓶颈。与离散元相比，土壤的有限元力学模型过于简单，但是，在现实中，由于没给出复杂的边界条件，土壤的复杂动态力学行为不能被精确分析。
近来，离散元法已经被应用到土壤与地面机械的相互作用中，并且获得了一些重要结论[5]。但是，由于土壤的某些重要力学特性被忽略，文献中的大部分离散元力学模型过于简单。在土壤的许多离散元力学模型中，土壤颗粒间的接触力和摩擦力被考虑，而其中的粘性力和结合力经常被忽略。这一点，对于有限元和离散元来说是一样的。尽管大家都强调这些弱点，因其简单性和普遍性，有限元法还是被普遍地应用。
2.5.3 有限元分析和虚功原理
虚功方程式由两部分构成，一部分代表虚位移，另一部分代表均势力。∫A Ti δui dA + ∫v ρFi δui dV= ∫v σij δεij 公式 2.2 式中：Ti—表面力失，δui—虚位移增量，A—面积，ρ—土壤容积密度，Fi—质量力失，V—体积，σ ij—增加的压力，δεij—虚应变

2.5.4 理想弹塑性模型
土壤的理想弹塑性材料轴向压缩实验由图2.2所示，其应力应变关系可分为两个阶段，由下列两式表示：
σ = K0 εo 0≤ ε≤ εo 公式 2.3 
σ = K1 εo ≤ ε 公式 2.4 
式中：σ—压应力，ε—三维轴向应变，εo—交点处应力值，Ko ， K1—常数项


2.5.5 Drucker-Prager 模型
Drucker-Prager理想弹塑性模型是用来进行土壤切削过程有限元分析的材料模型之一。最初建立这个模型是为了了解和解决结构问题，随后被用来解决固体力学中的问题[21]。用来描述屈服点轨迹的函数称为屈服函数。Drucker- Prager理性弹塑性模型(F)的屈服函数能够表示为式2.11的形式[22]：
0.5 { } [ ]{ }] 2
1 F 3 [ S M S T = βσ m + 公式 2.11 
式中: 
σm = 流体静应力的平均值；{S}= 偏应力方程；β= 材料常数。材料屈服参数M被定义为：
3(3 )
6
ϕ
ϕ
Sin
cCos M − = 公式 2.12 
式中C和φ分别为土壤内聚力和内摩擦角。
土壤塑性是通过塑性增量理论阐述的。一旦材料开始屈服，应变增量能够被分为弹性分量与塑性分量两部分，如下式： 
{ } { } { } p e d ε = d ε + d ε 公式 2.13 
 
只有弹性应变增量 e d ε 会引起应力变化。因此应力增量可以由式2.14表示：
{ } [ ]{ } [ ]({ } { }) p
e
e dσ = Ce dε = C dε − dε 公式 2.14
 
一些研究人员已经使用Drucker-Prager材料模型建立了使用简单耕具时土壤切削的有限元模型。然而，只有很少的一些宣布了关于圆盘犁仿生设计的土壤耕作有限元分析。Ballel Zaid 使用有限元建立了开沟器的仿生设计模型，他后来验证了建模结果，推断出有限元方法确实是非常有效的以及由于使用了仿生设计，阻力降低了20 %[6]。圆盘犁受力的三维有限元分析是H. A. Nidal使用有限元分析软件FORTRAN FEM来进行的，这个有限元分析软件是由Duncan 和Chang在双曲线基础上开发出来的[5]。

2.5.6 非线性问题
当土壤承受外载荷时，有两个非线性的来源—材料非线性和几何非线性（如图2.2）。材料非线性能够用应力-应变关系来描述。不只一个应力-应变因数可以表征一般系统应力下的材料力学性能。 对于土壤物质，这些因数包括弹性杨氏模量，土壤内聚力，内摩擦角和泊松比。这些因数可以通过试验来确定。为了解决材料非线性，使用了增量分析方法。每一时步都应用了Newton-Raphson迭代法。 

几何非线性也能够通过考虑小应变假设来解决： 
 ∂ui / ∂xj = Uij = εij +ωij 公式 2.15
或者是通过考虑修正过的拉格朗日公式和下面的应变增量形式来解决：
 dEij = dεij(1) + dηij 公式 2.16 
式中，ui是位移分量，ui是位移导数；εij是完全的变形张量；ωij是斜对称张量；Eij是Green-Lagrange应变张量；dεij (1)是应变增量导数的线性部分，dηij是应变增量导数的非线性部分。

2.5.7 三维土壤切削分析
在增量过程中，开始土壤应力随着工具的位移而增加。如式2.17所示，摩尔-库伦准则变换可以用来检测失效函数与常数
F = (I1 / 3)sinφ + (J2 cosψ0)
1/2 + ((J2/ 3) sinφ)
1/2 − C cosφ 公式 2.17 
式中，F是切向力，KN；I1是一阶应力张量不变量；J2 是二阶应力张量不变量。这样，应力水平可能会在破坏面以外。然而，在加载过程中，土壤应力不应落到破坏面以外。因此，应力水平应该被矫正回到破坏面以内[23] 。